Toán hữu hạn Ví dụ

$e^{2 x}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{2 y}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{2 y} = x$ .

$e^{2 y} = x$

Bước 2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

Bước 2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $\ln (e^{2 y})$ bằng cách di chuyển $2 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

Bước 2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 y = \ln (x)$

Bước 2.4

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (x)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (x)$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Bước 2.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{2 x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{2 x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

Bước 4.2.3

Khai triển $\ln (e^{2 x})$ bằng cách di chuyển $2 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

Bước 4.2.4.2

Chia $x \ln (e)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

Bước 4.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

Bước 4.2.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x)}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

Bước 4.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$